Ciągi
Zadanie 6, maj 2015, poziom rozszerzony
Oblicz granicę
\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right).\]
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
Do kratek należy wpisać kolejno: \(1,4,3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obie granice obliczamy z ilorazów współczynników przy najwyższych potęgach:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}=\frac{11}{6},\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}=\frac25.\]
Zatem
\[\frac{11}{6}-\frac25=\frac{55-12}{30}=\frac{43}{30}=1{,}4333\ldots\]
Cyfra jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku to \(1,4,3\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne cyfry \(1,4,3\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie granic składowych \(\frac{11}{6}\) i \(\frac25\) albo otrzymanie \(\frac{43}{30}\), lecz błędne wpisanie cyfr
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
5. Ciągi - obliczanie granic ciągów i korzystanie z twierdzeń o działaniach na granicach (R5.2).
