Ciągi
Zadanie 2, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Granice
\[\lim_{n\to\infty}\frac{an^2+bn+4}{n+1}\qquad\text{i}\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{an^2+bn+4}\]
są równe. Stąd wynika, że
**A.** \(a=0\) i \(b=0\)
**B.** \(|a|=1\) i \(b=0\)
**C.** \(|a|=1\) i \(|b|=1\)
**D.** \(a=0\) i \(|b|=1\)
Odpowiedź
**D.** \(a=0\) i \(|b|=1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Aby obie granice były równe i skończone, musi być \(a=0\). Wtedy dla \(b\neq0\):
\[\lim_{n\to\infty}\frac{bn+4}{n+1}=b,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{bn+4}=\frac1b.\]
Warunek równości daje
\[b=\frac1b,\qquad b^2=1,\qquad |b|=1.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem własności granic i porównywania stopni wielomianów.
