Równania i nierówności
Zadanie 3, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Wektory
\[\vec a=[m-2,m+2]\qquad\text{oraz}\qquad\vec b=[m^{1{,}5},2^{1{,}5}]\]
mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy
**A.** \(m=0\) lub \(m=4\)
**B.** \(m=0\) lub \(m=2\)
**C.** \(m=2\)
**D.** \(m=2\) lub \(m=4\)
Odpowiedź
**B.** \(m=0\) lub \(m=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek równości długości wektorów jest równoważny równości kwadratów ich długości:
\[(m-2)^2+(m+2)^2=(m^{1{,}5})^2+(2^{1{,}5})^2.\]
Ponieważ zapis \(m^{1{,}5}\) wymaga \(m\geq0\), otrzymujemy
\[2m^2+8=m^3+8,\]
\[m^2(m-2)=0.\]
Stąd \(m=0\) lub \(m=2\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
obliczanie długości wektora w układzie współrzędnych oraz rozwiązywanie równań wielomianowych.
![Rozwiązanie zadania 3 (matura z matematyki czerwiec 2021): Wektory a=[m-2,m+2] oraz b=[m¹,5,2¹,5] mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy A. m=0 lub m=4 B. m=0 lub…](rozwiazanie.webp)
