Ciągi
Zadanie 2, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\]
dla \(n\geq1\). Granica tego ciągu jest równa
**A.** \(3\)
**B.** \(\frac15\)
**C.** \(\frac35\)
**D.** \(-\frac5{11}\)
Odpowiedź
**C.** \(\frac35\)
Rozwiązanie krok po kroku
Licznik i mianownik są wielomianami tego samego stopnia. Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^2\):
\[a_n=\frac{3+\frac7n-\frac5{n^2}}{\frac{11}{n^2}-\frac5n+5}.\]
Dla \(n\to+\infty\) składniki zawierające \(\frac1n\) i \(\frac1{n^2}\) dążą do zera, zatem
\[\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac35.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R5.2 obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz twierdzeń o działaniach na granicach.
