Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 1, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Dany jest wielomian
\[W(x)=x^{2019}-3x^{2000}+2x+6.\]
Wielomian \(W\)
**A.** jest podzielny przez dwumian \(x-1\), a z dzielenia przez dwumian \(x+1\) daje resztę \(6\).
**B.** jest podzielny przez dwumian \(x+1\), a z dzielenia przez dwumian \(x-1\) daje resztę \(6\).
**C.** jest podzielny przez oba dwumiany: \(x-1\) i \(x+1\).
**D.** nie jest podzielny przez żaden z dwumianów: \(x-1\) i \(x+1\).
Odpowiedź
**B.** Wielomian jest podzielny przez \(x+1\), a z dzielenia przez \(x-1\) daje resztę \(6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o reszcie sprawdzamy wartości wielomianu dla \(x=-1\) i \(x=1\):
\[W(-1)=(-1)^{2019}-3(-1)^{2000}+2(-1)+6=-1-3-2+6=0,\]
\[W(1)=1-3+2+6=6.\]
Ponieważ \(W(-1)=0\), wielomian jest podzielny przez \(x+1\). Ponieważ \(W(1)=6\), reszta z dzielenia przez \(x-1\) jest równa \(6\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).
