Funkcje
Zadanie 15, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Kąt α jest ostry oraz \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tangens kąta α jest równy
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(\frac{5}{4}\)
Podpowiedź
Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Wyznacz go z jedynki trygonometrycznej.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Najpierw obliczamy \(\cos\alpha\), potem korzystamy z \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
Rozwiązanie
Z jedynki trygonometrycznej mamy \[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.\] Zatem \[\tan\alpha=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.\]
Sprawdzenie
Kąt jest ostry, więc zarówno sinus, cosinus, jak i tangens powinny być dodatnie.
Odpowiedź
A. \(\frac{3}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Znamy sinus kąta ostrego, a szukamy tangensa. Najprościej narysować pomocniczy trójkąt prostokątny, w którym sinus tego kąta wynosi \(\frac35\), i brakujący bok wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa.
**Krok \(2\).** Sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej. Skoro \(\sin\alpha=\frac35\), możemy przyjąć
\[a=3\ (\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha),\qquad c=5\ (\text{przeciwprostokątna}).\]
**Krok \(3\).** Druga przyprostokątna \(b\) z twierdzenia Pitagorasa:
\[b^2=c^2-a^2=25-9=16,\qquad b=4\]
(bierzemy wartość dodatnią, bo to długość boku).
**Krok \(4\).** Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie:
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}=\frac34.\]
**Krok \(5\).** Można też bez rysunku, z jedynki trygonometrycznej. Z \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) mamy
\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},\qquad \cos\alpha=\frac45,\]
przy czym bierzemy wartość dodatnią, bo kąt jest ostry.
**Krok \(6\).** Stąd
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34.\]
**Uwaga.** Odpowiedź B (\(\frac43\)) to odwrotność poprawnego wyniku — powstaje z pomylenia, która przyprostokątna jest w liczniku. Tangens ma w liczniku bok **naprzeciw** kąta.
**Odpowiedź.** A: \(\frac34\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
6.5) Zdający znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.
