Funkcje
Zadanie 14, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie α, że \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\). Przeciwprostokątna ma długość \(8\). Krótsza przyprostokątna ma długość
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(4\)
D. \(2\sqrt{15}\)
Podpowiedź
Sinus kąta w trójkącie prostokątnym jest ilorazem długości przeciwległej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Szukana krótsza przyprostokątna jest bokiem leżącym naprzeciw kąta \(\alpha\).
Rozwiązanie
Jeżeli długość szukanej przyprostokątnej oznaczymy przez \(a\), to \[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac{1}{4}.\] Stąd \(a=8\cdot\frac{1}{4}=2\).
Sprawdzenie
Przyprostokątna musi być krótsza od przeciwprostokątnej \(8\); otrzymana długość \(2\) spełnia ten warunek.
Odpowiedź
B. \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Znamy sinus i przeciwprostokątną, więc z tej definicji od razu wyliczymy jedną z przyprostokątnych.
**Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(\alpha\). Wtedy
\[\sin\alpha=\frac{a}{8}.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy \(\sin\alpha=\frac14\):
\[\frac{a}{8}=\frac14.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(8\):
\[a=8\cdot\frac14=2.\]
**Krok \(5\).** Musimy jeszcze sprawdzić, czy to na pewno przyprostokątna krótsza. Drugą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa:
\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{64-4}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}.\]
**Krok \(6\).** Porównujemy: \(\sqrt{15}\) jest nieco mniejsze od \(4\), więc \(2\sqrt{15}\approx7{,}7\), czyli znacznie więcej niż \(2\). Krótsza przyprostokątna ma zatem długość \(2\).
**Uwaga.** Zadanie pyta o przyprostokątną krótszą. Liczba \(2\sqrt{15}\) też występuje wśród odpowiedzi (D), ale to ta dłuższa. Można to zauważyć bez rachunku: naprzeciw mniejszego kąta leży krótszy bok, a skoro \(\sin\alpha=\frac14\) jest małe, kąt \(\alpha\) jest mały.
**Odpowiedź.** B: \(2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
7.4) Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych […].
