Równania i nierówności
Zadanie 8, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=\frac14(3n+1)\qquad\text{dla }n\geqslant1.\]
a) Sprawdź, którym wyrazem ciągu \((a_n)\) jest liczba \(37\frac34\).
b) Wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) są wyrazy będące liczbami całkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów.
Odpowiedź
a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie różne sprawy. Podpunkt a) to zwykłe równanie: pytamy, dla jakiego \(n\) wyraz \(a_n\) równa się danej liczbie. Podpunkt b) jest ciekawszy — wyrazy całkowite pojawiają się REGULARNIE (co pewną stałą liczbę kroków), więc same tworzą ciąg arytmetyczny, a ich sumę policzymy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
**Krok \(2\).** Podpunkt a): zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \(37\tfrac34=\dfrac{151}{4}\). Zapisujemy równanie:
\[\frac{1}{4}(3n+1)=\frac{151}{4}.\]
**Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(4\):
\[3n+1=151\quad\Longrightarrow\quad 3n=150\quad\Longrightarrow\quad n=50.\]
Liczba \(37\tfrac34\) jest więc pięćdziesiątym wyrazem ciągu.
**Krok \(4\).** Podpunkt b): wyraz \(a_n=\dfrac{3n+1}{4}\) jest liczbą całkowitą dokładnie wtedy, gdy licznik \(3n+1\) dzieli się przez \(4\). Sprawdzamy kilka pierwszych wyrazów:
\[a_1=\tfrac44=1,\quad a_2=\tfrac74,\quad a_3=\tfrac{10}{4},\quad a_4=\tfrac{13}{4},\quad a_5=\tfrac{16}{4}=4.\]
Widać, że całkowite są wyrazy o numerach \(1, 5, 9, \ldots\), czyli co czwarty.
**Krok \(5\).** Uzasadniamy tę regularność: zwiększenie \(n\) o \(4\) zwiększa licznik \(3n+1\) o \(12\), czyli o wielokrotność \(4\) — reszta z dzielenia przez \(4\) się nie zmienia. Natomiast zwiększenie \(n\) o \(1\), \(2\) lub \(3\) zmienia licznik o \(3\), \(6\) lub \(9\), co daje inną resztę. Numery wyrazów całkowitych to więc dokładnie \(n=1,5,9,13,\ldots\), czyli \(n=1+4k\).
**Krok \(6\).** Zliczamy te numery wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów:
\[1+4k\leqslant50\quad\Longrightarrow\quad 4k\leqslant49\quad\Longrightarrow\quad k\leqslant12{,}25,\]
czyli \(k=0,1,\ldots,12\) — razem \(13\) wyrazów. Ostatni z nich ma numer \(n=1+4\cdot12=49\), a jego wartość to
\[a_{49}=\frac{3\cdot49+1}{4}=\frac{148}{4}=37.\]
**Krok \(7\).** Same te wyrazy \(1, 4, 7, \ldots, 37\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\) (bo przeskok o cztery wyrazy ciągu o różnicy \(\tfrac34\) daje przyrost \(4\cdot\tfrac34=3\)). Stosujemy wzór na sumę:
\[S=\frac{a_{\text{pierwszy}}+a_{\text{ostatni}}}{2}\cdot(\text{liczba wyrazów})=\frac{1+37}{2}\cdot13=19\cdot13=247.\]
**Uwaga.** Ograniczenie „wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów” jest istotne — kolejny wyraz całkowity miałby numer \(53\) i już się nie liczy. Warto też zauważyć, że sam wyraz \(a_{50}=\tfrac{151}{4}=37\tfrac34\) z podpunktu a) NIE jest liczbą całkowitą, więc granica \(n\leqslant50\) w praktyce wypada na \(n=49\). Uwaga na liczbę składników: między \(1\) a \(49\) co cztery kroki jest \(13\), a nie \(12\) wyrazów (\(\tfrac{49-1}{4}+1=13\)).
**Odpowiedź.** a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**8.1. (1 pkt)** – zapisanie równania: \(\frac{3n+1}{4}=37\frac{3}{4}\).
**8.2. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(n=50\).
**8.3. (1 pkt)** – zauważenie, że wartości wyrazów \(a_{1}\), \(a_{5}\), \(a_{9}\), \(a_{13}\), \(a_{17}\), \(a_{21}\), \(a_{25}\),… są liczbami całkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu ciągu \(a_{1}=1\) i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od poprzedniego o \(3\).
Wystarczy, że zdający zapisze sumę \(1+4+7+10+\ldots\) bez jej ostatniego składnika. Obliczenie różnicy ciągu nie jest konieczne.
**8.4. (1 pkt)** – obliczenie ostatniego składnika szukanej sumy: \(a_{49}=37\).
**8.5. (1 pkt)** – obliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi: \(13\).
**8.6. (1 pkt)** – obliczenie sumy: \(S_{13}=\frac{a_{1}+a_{49}}{2}\cdot 13=\frac{1+37}{2}\cdot 13=247\).
Jeżeli zdający od razu zapisze \(\frac{1+37}{2}\cdot 13\), to otrzymuje punkty w czynnościach 8.3, 8.4 i 8.5.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
