Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 18, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz **P**, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo **F** - jeśli jest fałszywe.
| Stwierdzenie | P | F |
|---|:---:|:---:|
| Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{7}\). | P | F |
| Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac{4}{7}\). | P | F |
Odpowiedź
**F**, **P**
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(\alpha\) i \(\beta\) są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego, więc \(\alpha+\beta=90^\circ\).
Z jedynki trygonometrycznej i z tego, że \(\alpha\) jest kątem ostrym (cosinus dodatni),
\[\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\tfrac47\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{33}{49}}=\frac{\sqrt{33}}{7}\neq\frac37,\]
bo \(\sqrt{33}\approx5{,}74\). Pierwsze stwierdzenie jest **fałszywe**.
Dla kątów dopełniających się do \(90^\circ\) zachodzi \(\cos\beta=\sin\alpha\), więc \(\cos\beta=\tfrac47\). Drugie stwierdzenie jest **prawdziwe**.
**Odpowiedź.** F, P
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: VII.1) Wykorzystuje definicje sinusa i cosinusa.
