Wartość bezwzględna
Zadanie 18, maj 2026, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(AC\) jest przeciwprostokątną oraz \(\lvert BC\rvert=2\) i \(\lvert AC\rvert=2\sqrt{10}\). Oznaczmy kąt \(BCA\) przez \(\gamma\) (zobacz rysunek).
Sinus kąta \(\gamma\) jest równy
**A.** \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
**B.** \(\frac{1}{3}\)
**C.** \(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
**D.** \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\)
Podpowiedź
Najpierw oblicz drugą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Dla kąta \(\gamma\) bokiem przeciwległym jest \(AB\), a przeciwprostokątną \(AC\).
Rozwiązanie
Z twierdzenia Pitagorasa \[AB^2=AC^2-BC^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\] więc \(AB=6\). Zatem \[\sin\gamma=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.\] Poprawna jest odpowiedź C.
Sprawdzenie
Wartość \(\frac{3}{\sqrt{10}}\) jest mniejsza od \(1\), jak musi być dla sinusa kąta ostrego.
Odpowiedź
**C.** \(\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że kąt prosty jest przy wierzchołku \(B\), a kąt \(\gamma\) leży przy wierzchołku \(C\). Dla kąta \(\gamma\) bokiem przeciwległym jest przyprostokątna \(AB\), a przeciwprostokątną — bok \(AC\).
Brakującą przyprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=\left(2\sqrt{10}\right)^2-2^2=40-4=36,\]
więc \(|AB|=6\).
Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.\]
Wynik jest mniejszy od \(1\), jak musi być dla sinusa kąta ostrego.
**Odpowiedź.** **C.** \(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus […] dla kątów od 0° do 180° […].
