Ciąg arytmetyczny
Zadanie 18, sierpień 2025, poziom podstawowy
Trzywyrazowy ciąg \((\sqrt5,1,x)\) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg \((\sqrt5,1,y)\) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki
**A.** \(x<0\) i \(y<0\)
**B.** \(x<0\) i \(y>0\)
**C.** \(x>0\) i \(y<0\)
**D.** \(x>0\) i \(y>0\)
Odpowiedź
**B.** Z warunku arytmetyczności \(x=2-\sqrt5<0\). Z warunku geometryczności \(1^2=\sqrt5\,y\), więc \(y=\frac1{\sqrt5}>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ciąg \((\sqrt5,1,x)\) jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
\[2\cdot1=\sqrt5+x,\qquad x=2-\sqrt5.\]
Ponieważ \(\sqrt5>2\), mamy \(x<0\).
Ciąg \((\sqrt5,1,y)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[1^{2}=\sqrt5\cdot y,\qquad y=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}5>0.\]
**Odpowiedź.** **B.** \(x<0\) i \(y>0\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].
