Zadanie 16 – matura z matematyki sierpień 2022, poziom podstawowy

**C.** \(\frac12\)

**Krok \(1\).** Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy nim. Znamy jedną przyprostokątną i przeciwprostokątną, więc drugiej przyprostokątnej musimy się dopiero dopracować — z twierdzenia Pitagorasa. **Krok \(2\).** Ustalamy, gdzie jest kąt prosty. Przeciwprostokątną jest bok \(AB\), a leży on naprzeciw wierzchołka \(C\) — zatem kąt prosty jest przy \(C\), a przyprostokątne to \(AC\) i \(BC\). **Krok \(3\).** Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa: \[|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2,\qquad\text{czyli}\qquad 6^2+|BC|^2=\left(3\sqrt5\right)^2.\] **Krok \(4\).** Obliczamy kwadrat przeciwprostokątnej, pamiętając o podniesieniu do kwadratu obu czynników: \[\left(3\sqrt5\right)^2=3^2\cdot\left(\sqrt5\right)^2=9\cdot5=45.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy brakującą przyprostokątną: \[|BC|^2=45-36=9,\qquad |BC|=3.\] **Krok \(6\).** Kąt \(CAB\) ma wierzchołek w punkcie \(A\). Naprzeciw niego leży bok \(BC\), a przy nim bok \(AC\), zatem \[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac36=\frac12.\] **Uwaga.** Odwrócenie ułamka daje \(2\), czyli odpowiedź D. Aby się nie pomylić, zawsze zaczynaj od pytania: która przyprostokątna leży naprzeciw kąta, o który pytają. Tu jest to \(BC\), bo kąt jest przy \(A\). **Odpowiedź.** C: \(\frac12\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VIII.3 i IX.1 stosowanie twierdzenia Pitagorasa i definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.