Inne zagadnienia
Zadanie 9, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
Na płaszczyźnie dane są punkty
\[A=(\sqrt2,\sqrt6),\qquad B=(0,0),\qquad C=(\sqrt2,0).\]
Kąt \(BAC\) jest równy
**A.** \(30^\circ\)
**B.** \(45^\circ\)
**C.** \(60^\circ\)
**D.** \(75^\circ\)
Odpowiedź
**A.** \(30^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Punkty \(A=(\sqrt2,\sqrt6)\) i \(C=(\sqrt2,0)\) mają tę samą pierwszą współrzędną, a punkty \(B=(0,0)\) i \(C=(\sqrt2,0)\) — tę samą drugą. Odcinek \(AC\) jest więc pionowy, odcinek \(BC\) poziomy, a kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty.
Długości przyprostokątnych wynoszą
\[|AC|=\sqrt6,\qquad |BC|=\sqrt2.\]
W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(BAC\) przy wierzchołku \(A\) bok \(BC\) leży naprzeciw tego kąta, a bok \(AC\) przy nim, zatem
\[\operatorname{tg}\angle BAC=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{\sqrt2}{\sqrt6}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.\]
Kątem ostrym o tangensie \(\frac{\sqrt3}{3}\) jest \(30^\circ\).
**Odpowiedź.** A. \(30^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
6.1, 6.3) Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od \(0^\circ\) do \(180^\circ\); oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość.
