Liczby rzeczywiste
Zadanie 18.1, maj 2025, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(BC\) jest przeciwprostokątną, \(|AB|=6\), a środkowa \(|CD|=5\) (zobacz rysunek). Kąt \(ADC\) oznaczono przez \(\alpha\), a kąt \(ABC\) - przez \(\beta\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
**A.** \(\frac{2}{3}\)
**B.** \(\frac{3}{4}\)
**C.** \(\frac{4}{5}\)
**D.** \(\frac{4}{3}\)
Odpowiedź
**D.** Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), więc \(|AD|=3\). W trójkącie prostokątnym \(ACD\) mamy \(|CD|=5\), zatem \(|AC|=4\). Stąd \(\tan\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac43\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, gdzie leży kąt \(\alpha\). Odcinek \(CD\) jest środkową trójkąta \(ABC\) poprowadzoną do boku \(AB\), więc \(D\) jest **środkiem** odcinka \(AB\). Kąt \(\alpha=\sphericalangle ADC\) jest kątem trójkąta \(ACD\), a ten trójkąt jest prostokątny: skoro \(BC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(ABC\), to kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\). Wystarczy więc policzyć boki trójkąta \(ACD\).
**Krok \(2\).** Liczymy \(|AD|\). Punkt \(D\) dzieli \(AB\) na połowy, a \(|AB|=6\), więc
\[|AD|=\frac{|AB|}{2}=\frac62=3.\]
**Krok \(3\).** Ustalamy role boków w trójkącie \(ACD\): kąt prosty jest przy \(A\), więc przyprostokątnymi są \(AD\) i \(AC\), a przeciwprostokątną \(CD\), przy czym \(|CD|=5\).
**Krok \(4\).** Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy brakującą przyprostokątną:
\[|AC|^{2}+|AD|^{2}=|CD|^{2},\qquad |AC|^{2}+3^{2}=5^{2},\]
\[|AC|^{2}=25-9=16.\]
**Krok \(5\).** Długość odcinka jest dodatnia, więc \(|AC|=4\). Rozpoznajemy zresztą trójkąt o bokach \(3,4,5\).
**Krok \(6\).** Stosujemy definicję tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: to iloraz przyprostokątnej leżącej **naprzeciw** kąta przez przyprostokątną **przyległą** do kąta. Kąt \(\alpha\) jest przy wierzchołku \(D\), naprzeciw niego leży \(AC\), a przy nim \(AD\):
\[\tan\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac43.\]
**Uwaga.** Nie należy mylić \(\alpha\) z kątem \(\beta=\sphericalangle ABC\). Dla \(\beta\) przyprostokątną przyległą jest cały bok \(AB\) o długości \(6\), więc \(\tan\beta=\frac{4}{6}=\frac23\) — to właśnie odpowiedź A, przygotowana jako pułapka na uczniów, którzy wezmą zły wierzchołek.
**Odpowiedź.** D: \(\frac43\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji […] tangens dla kątów od 0° do 180° […].
