Inne zagadnienia
Zadanie 17, maj 2026, poziom podstawowy
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\).
Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy ... .
Podpowiedź
Zapisz oba iloczyny za pomocą \(a_1\) i ilorazu \(q\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
W obu parach suma numerów wyrazów jest taka sama, dlatego iloczyny są równe.
Rozwiązanie
Dla ciągu geometrycznego \(a_n=a_1q^{n-1}\). Zatem \[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7\] oraz \[a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7.\] Skoro \(a_3a_6=18\), to również \(a_2a_7=18\).
Sprawdzenie
Obie pary mają tę samą średnią arytmetyczną indeksów: \(\frac{3+6}{2}=\frac{2+7}{2}\).
Odpowiedź
\[a_2a_7=a_1^{2}q^{7}=a_3a_6=18.\] Zatem szukany iloczyn jest równy \(18\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie
Iloczyn • jest równy \(18\).
Wymaganie szczegółowe
Zdający:
VI.\(6\)) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu
geometrycznego.
**Odpowiedź.** \[a_2a_7=a_1^{2}q^{7}=a_3a_6=18.\] Zatem szukany iloczyn jest równy \(18\).
Klucz i zasady oceniania
Zadanie 17. (0—1)
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
1 . Stosowanie obiektów matematycznych
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zasady oceniania
1 pkt — poprawne uzupełnienie zdania.
0 pkt — brak spełnienia powyższego kryterium.
Rozwiązanie
Iloczyn • jest równy 18.
Wymaganie szczegółowe
Zdający:
VI.6) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu
geometrycznego.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 17.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
