Równania i nierówności
Zadanie 19, maj 2026, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\). Kąt \(CDA\) ma miarę \(50^{\circ}\), a kąt \(COB\) ma miarę \(30^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego \(BOA\) jest równa
**A.** \(50^{\circ}\)
**B.** \(60^{\circ}\)
**C.** \(70^{\circ}\)
**D.** \(100^{\circ}\)
Podpowiedź
Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Najpierw wyznaczamy miarę łuku \(CA\) przechodzącego przez \(B\), a potem odejmujemy łuk \(CB\).
Rozwiązanie
Kąt wpisany \(CDA\) ma miarę \(50^\circ\), więc odpowiadający mu łuk \(CA\) przechodzący przez \(B\) ma miarę \(100^\circ\). Kąt środkowy \(COB\) wyznacza łuk \(CB\) o mierze \(30^\circ\). Zatem łuk \(BA\), a więc również kąt środkowy \(BOA\), ma miarę \[100^\circ-30^\circ=70^\circ.\] Poprawna jest odpowiedź C.
Sprawdzenie
Suma miar sąsiednich kątów środkowych \(COB\) i \(BOA\) wynosi \(30^\circ+70^\circ=100^\circ\), zgodnie z łukiem \(CA\).
Odpowiedź
**C.** \(\lvert\angle BOA\rvert=70^{\circ}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy konfigurację kątów w okręgu: kąt \(CDA\) ma wierzchołek na okręgu, więc jest kątem wpisanym, a kąty \(COB\) i \(BOA\) mają wierzchołek w środku, więc są kątami środkowymi. Korzystamy z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
**Krok \(2\).** Kąt wpisany \(\angle CDA\) jest oparty na łuku \(AC\), na którym leży punkt \(B\) (a nie \(D\)). Odpowiadający mu kąt środkowy to \(\angle AOC\), więc
\[|\angle AOC|=2\cdot|\angle CDA|=2\cdot50^{\circ}=100^{\circ}.\]
**Krok \(3\).** Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\), czyli promień \(OB\) przebiega wewnątrz kąta \(AOC\) i dzieli go na dwa kąty:
\[|\angle AOB|+|\angle BOC|=|\angle AOC|=100^{\circ}.\]
**Krok \(4\).** Z treści wiemy, że \(|\angle COB|=30^{\circ}\). Podstawiamy:
\[|\angle AOB|+30^{\circ}=100^{\circ}.\]
**Krok \(5\).** Stąd
\[|\angle AOB|=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ},\]
i rzeczywiście jest to kąt ostry, o który pytano.
**Uwaga.** Kąt wpisany zawsze jest połową środkowego opartego na tym samym łuku - podwajamy \(50^{\circ}\), a nie połowimy. Odpowiedź \(100^{\circ}\) to cały kąt \(AOC\), z którego trzeba jeszcze odjąć \(30^{\circ}\).
**Odpowiedź.** C, czyli \(70^{\circ}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.5) Zdający stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.
