Zadanie 18.2 – matura z matematyki maj 2025, poziom podstawowy

**A.** Z twierdzenia Pitagorasa \(|BC|=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2\sqrt{13}\). Zatem \(\sin\beta=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\).

**Krok \(1\).** Zbierzmy, co wiemy. Skoro \(BC\) jest przeciwprostokątną, to kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\). Odcinek \(CD\) jest środkową, więc \(D\) jest **środkiem** boku \(AB\). Sinus kąta \(\beta\) w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej - brakuje nam więc \(|AC|\) i \(|BC|\). Zaczniemy od mniejszego trójkąta \(ACD\). **Krok \(2\).** Skoro \(D\) jest środkiem \(AB\) i \(|AB|=6\), to \[|AD|=\frac{|AB|}{2}=3.\] **Krok \(3\).** Trójkąt \(ACD\) też ma kąt prosty przy \(A\) (bo \(D\) leży na odcinku \(AB\)), a jego przeciwprostokątną jest \(CD\) o długości \(5\). Z twierdzenia Pitagorasa: \[|AC|^2+|AD|^2=|CD|^2,\qquad |AC|^2+3^2=5^2,\] \[|AC|^2=25-9=16,\qquad |AC|=4.\] **Krok \(4\).** Wracamy do trójkąta \(ABC\) z kątem prostym przy \(A\) i przyprostokątnymi \(|AB|=6\), \(|AC|=4\). Liczymy przeciwprostokątną: \[|BC|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\] **Krok \(5\).** Kąt \(\beta\) jest przy wierzchołku \(B\). Naprzeciw niego leży bok \(AC\), a przeciwprostokątną jest \(BC\), więc \[\sin\beta=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.\] **Uwaga.** Nie pomyl boków: bok \(AB\) **przylega** do kąta \(\beta\) (to jego ramię), a naprzeciw kąta \(\beta\) leży \(AC\). Użycie \(|AB|\) zamiast \(|AC|\) daje \(\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\), czyli błędną odpowiedź B. **Odpowiedź.** A: \(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus […] dla kątów od 0° do 180° […].