Równania i nierówności
Zadanie 19, maj 2025, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50^{\circ}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa
**A.** \(20^{\circ}\)
**B.** \(35^{\circ}\)
**C.** \(40^{\circ}\)
**D.** \(50^{\circ}\)
Odpowiedź
**C.** Kąt środkowy \(AOB\) oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(ACB\) ma miarę \(100^{\circ}\). Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny, więc \(\angle ABO=\frac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Punkty leżą na okręgu, a szukany kąt ma wierzchołek w środku okręgu — to sygnał, że trzeba połączyć dwa fakty: twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz to, że dwa promienie tworzą trójkąt równoramienny.
**Krok \(2\).** Kąt \(BCA\) ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona przechodzą przez \(A\) i \(B\), więc jest to kąt **wpisany** oparty na łuku \(AB\). Kąt \(AOB\) ma wierzchołek w środku \(O\) i opiera się na tym samym łuku, więc jest kątem **środkowym**.
**Krok \(3\).** Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku:
\[\left|\angle AOB\right|=2\cdot50^{\circ}=100^{\circ}.\]
**Krok \(4\).** Odcinki \(OA\) i \(OB\) są promieniami tego samego okręgu, więc \(|OA|=|OB|\) i trójkąt \(AOB\) jest równoramienny o podstawie \(AB\).
**Krok \(5\).** W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Suma kątów trójkąta wynosi \(180^{\circ}\), więc na dwa kąty przy podstawie zostaje \(180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}\), czyli
\[\left|\angle ABO\right|=\left|\angle BAO\right|=\frac{80^{\circ}}{2}=40^{\circ}.\]
**Krok \(6\).** Szukany kąt ostry \(ABO\) ma więc miarę \(40^{\circ}\).
**Uwaga.** Kusi, by odpowiedzieć \(50^{\circ}\), przenosząc miarę danego kąta w inne miejsce rysunku — ale \(\angle ABO\) jest kątem trójkąta \(AOB\) i z kątem wpisanym \(\angle BCA\) łączy go dopiero kąt środkowy. Zauważmy też, że \(40^{\circ}+40^{\circ}+100^{\circ}=180^{\circ}\), więc rachunek się domyka.
**Odpowiedź.** C: \(40^{\circ}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.5) Zdający stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.
