Zadanie 17 – matura z matematyki maj 2025, poziom podstawowy

**C.** \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

**Krok \(1\).** W równaniu występują dwie różne funkcje trygonometryczne: tangens i sinus. Pierwszy ruch w takiej sytuacji to zamiana tangensa na iloraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) — wtedy wszystko wyrazi się przez sinus i cosinus. **Krok \(2\).** Po podstawieniu warunek z treści przyjmuje postać \[\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha.\] **Krok \(3\).** Zbieramy informacje o kącie: \(\alpha\) jest ostry, czyli \(0^{\circ}\lt\alpha\lt 90^{\circ}\). Dla takich kątów \(\sin\alpha\gt 0\) oraz \(\cos\alpha\gt 0\). To ważne, bo pozwoli nam podzielić obie strony przez \(\sin\alpha\) (dzielić przez zero nie wolno) i zapewnia, że \(\cos\alpha\) w mianowniku ma sens. **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sin\alpha\): \[\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(\cos\alpha\), a następnie dzielimy przez \(2\): \[\sqrt{3}=2\cos\alpha,\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie. Wartość \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\) odpowiada kątowi \(\alpha=30^{\circ}\). Wtedy lewa strona warunku to \(\sqrt{3}\cdot\tan 30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1\), a prawa \(2\sin 30^{\circ}=2\cdot\frac12=1\) — równość zachodzi. **Uwaga.** Nie wolno dzielić przez \(\sin\alpha\) bez uzasadnienia. Tutaj usprawiedliwia to założenie, że kąt jest ostry; gdyby dopuścić \(\alpha=0^{\circ}\), pojawiłoby się dodatkowe, pozorne rozwiązanie. **Odpowiedź.** C. \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta z wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\);