Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 14, maj 2014, poziom podstawowy
Jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz
\[\tan\alpha=\frac25,\]
to wartość wyrażenia
\[\frac{3\cos\alpha-2\sin\alpha}{\sin\alpha-5\cos\alpha}\]
jest równa
**A.** \(-\frac{11}{23}\)
**B.** \(\frac{24}{5}\)
**C.** \(-\frac{23}{11}\)
**D.** \(\frac{5}{24}\)
Odpowiedź
A. −\(\frac{11}{23}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\neq0\) i licznik oraz mianownik można podzielić przez \(\cos\alpha\):
\[\frac{3\cos\alpha-2\sin\alpha}{\sin\alpha-5\cos\alpha}=\frac{3-2\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha-5}.\]
Po podstawieniu \(\operatorname{tg}\alpha=\tfrac25\)
\[\frac{3-\tfrac45}{\tfrac25-5}=\frac{\tfrac{11}{5}}{-\tfrac{23}{5}}=-\frac{11}{23}.\]
**Odpowiedź.** A. \(-\dfrac{11}{23}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
*Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i tworzenie informacji. Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (I.6.c).
