Równania i nierówności
Zadanie 7, maj 2009, poziom podstawowy
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla \(n\geqslant1\), w którym \(a_7=1\), \(a_{11}=9\).
a) Oblicz pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\) ciągu \((a_n)\).
b) Sprawdź, czy ciąg \((a_7,a_8,a_{11})\) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \(n\), aby suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) miała wartość najmniejszą.
Odpowiedź
a) \(a_1=-11\), \(r=2\); b) tak, ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\);
c) suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i wynosi \(-36\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** W ciągu arytmetycznym \(a_{11}-a_7=4r\), więc
\[9-1=4r,\qquad r=2.\]
Dalej \(a_1=a_7-6r=1-12=-11\).
**b)** Obliczamy \(a_8=a_7+r=3\). Ciąg \((a_7,a_8,a_{11})=(1,3,9)\) jest
geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy \(a_8^{2}=a_7\cdot a_{11}\):
\[3^{2}=1\cdot9.\]
Równość zachodzi, a żaden wyraz nie jest zerem, więc ciąg jest geometryczny
o ilorazie \(3\).
**c)** Wyraz ogólny: \(a_n=-11+(n-1)\cdot2=2n-13\). Suma \(S_n\) maleje dopóty,
dopóki dokładane wyrazy są ujemne:
\[2n-13<0\iff n\leq6.\]
Wyraz \(a_7=1\) jest już dodatni, więc \(S_n\) jest najmniejsza dla \(n=6\):
\[S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot6=\frac{-11+(-1)}{2}\cdot6=-36.\]
**Odpowiedź.** \(a_1=-11\), \(r=2\); ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny;
suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i równa \(-36\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
