Trygonometria
Zadanie 5, maj 2003, poziom podstawowy
Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające \(8\) stopni po \(15\,\mathrm{cm}\) wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu \(7^\circ\). Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do \(10\,\mathrm{cm}\).
Odpowiedź
Podjazd ma długość około \(980\ \mathrm{cm}\), czyli \(9{,}8\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Podjazd musi pokonać tę samą różnicę wysokości co schody:
\[H=8\cdot15\ \mathrm{cm}=120\ \mathrm{cm}.\]
Podjazd, jego rzut poziomy i wysokość \(H\) tworzą trójkąt prostokątny, w którym podjazd jest przeciwprostokątną, a kąt nachylenia \(7^\circ\) leży naprzeciw przyprostokątnej \(H\). Zatem
\[\sin 7^\circ=\frac{H}{\ell},\qquad \ell=\frac{120}{\sin 7^\circ}.\]
Ponieważ \(\sin 7^\circ\approx0{,}1219\), otrzymujemy
\[\ell\approx\frac{120}{0{,}1219}\approx984{,}4\ \mathrm{cm}.\]
Po zaokrągleniu do \(10\ \mathrm{cm}\) długość podjazdu wynosi \(980\ \mathrm{cm}\).
**Odpowiedź.** Podjazd ma długość około \(980\ \mathrm{cm}\), czyli \(9{,}8\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – wykonanie rysunku lub wprowadzenie oznaczeń. Jeżeli uczeń nie wykona rysunku, ale wprowadzi czytelne oznaczenia, przyznajemy punkt.
**2. (1 pkt)** – obliczenie długości odcinka \(BC\). Odp. \(120\) cm.
**3. (1 pkt)** – odczytanie z tablic wartości sinusa kąta o mierze \(7^\circ\). Odp. \(\sin 7^\circ=0{,}1219\)
**4. (2 pkt)** – obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie odpowiedzi. Odp. \(980\) cm. Za zapisanie zależności \(\sin\angle CAB=\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert AC\rvert}\) – \(1\) punkt.
Za wyznaczenie długości odcinka \(AB\) bez wskazanego zaokrąglenia przyznajemy w sumie \(4\) pkt. Przyjęcie innej wartości (poprawnego przybliżenia) sinusa nie może stanowić przesłanki do odjęcia punktu.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
