Ciąg arytmetyczny
Zadanie 4, maj 2003, poziom podstawowy
Liczby \(102,105,108,111,\ldots\) są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Zapisz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz \(a_{81}\).
Odpowiedź
\(a_n=3n+99\) oraz \(a_{81}=342\).
Rozwiązanie krok po kroku
Kolejne wyrazy różnią się o \(3\), więc ciąg jest arytmetyczny o \(a_1=102\) i \(r=3\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy
\[a_n=102+3(n-1)=3n+99.\]
Podstawiamy \(n=81\):
\[a_{81}=3\cdot81+99=243+99=342.\]
**Odpowiedź.** \(a_n=3n+99\), \(a_{81}=342\)
Klucz i zasady oceniania
**1. (2 pkt)** – zapisanie wzoru na wyraz ogólny ciągu \((a_{n})\): \(a_{n}=102+3(n-1)=3n+99\), \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\). Podanie wyrazu pierwszego i różnicy ciągu – \(1\) punkt.
**2. (1 pkt)** – obliczenie wyrazu \(a_{81}\). Odp. \(a_{81}=342\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
