Potęgi i pierwiastki
Zadanie 27.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Liczba jąder lub masa izotopu po czasie \(t\) jest opisana wzorem
\[m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{\frac tT}.\]
Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}\mathrm C\) to około \(5700\) lat. Naukowcy oszacowali, że masa tego izotopu w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi \(\frac1{16}\) masy, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.
**Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.**
Odpowiedź
Znalezisko ma około \(22\,800\) lat.
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku zadania
\[\frac1{16}=\left(\frac12\right)^{t/T}.\]
Ponieważ \(\frac1{16}=(\frac12)^4\), otrzymujemy \(t/T=4\). Dla \(T=5700\) lat
\[t=4\cdot5700=22\,800\text{ lat}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(22\,800\) lat
**2 pkt** – zapisanie równania \(\frac1{16}=(\frac12)^{t/T}\) i wyznaczenie \(t/T=4\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie modelu \(\frac1{16}m_0=m_0(\frac12)^{t/T}\) albo pierwszego etapu połowicznego rozpadu
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz tworzenie modelu matematycznego.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1 i V.14 potęgowanie oraz zastosowanie funkcji wykładniczej.
