Funkcja kwadratowa
Zadanie 28, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Każda działka ma wymiary \(x\) i \(y\). Całość ma być ogrodzona, a działki rozdziela wspólny płot. W ogrodzeniu będą dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\,\mathrm m\). Łączna długość płotu ogradzającego i rozdzielającego działki wyniesie \(580\,\mathrm m\); szerokości bram nie wliczają się w długość płotu.
**Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek tak, aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.**
Odpowiedź
\[x=100\,\mathrm m,\qquad y=75\,\mathrm m.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość płotu spełnia
\[3x+4y-2\cdot10=580,\]
więc \(y=150-\frac34x\). Całkowite pole dwóch działek jest równe
\[P(x)=2xy=2x\left(150-\frac34x\right).\]
Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół, o miejscach zerowych \(0\) i \(200\). Współrzędna wierzchołka wynosi zatem \(x=100\). Wtedy
\[y=150-\frac34\cdot100=75.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wymiary \(x=100\,\mathrm m\), \(y=75\,\mathrm m\)
**3 pkt** – poprawny wzór pola jednej zmiennej i wyznaczenie \(x=100\,\mathrm m\)
**2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) z właściwą dziedziną
**1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo \(3x+4y-20=580\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.2 i IV.4 modelowanie oraz tworzenie strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych opisywanych funkcją kwadratową.
