Logarytmy
Zadanie 1, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością
\[Q(t)=Q_0\cdot\beta^{-t}\qquad\text{dla }t\geq0,\]
gdzie:
- \(Q_0\) - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej \((t=0)\), wyrażony w milikulombach,
- \(Q\) - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili \(t\), licząc od chwili początkowej, wyrażony w milikulombach,
- \(\beta\) - stała dodatnia,
- \(t\) - czas wyrażony w sekundach.
Wiadomo, że w chwili \(t=4\,\mathrm{s}\) w kondensatorze był zgromadzony ładunek \(2\) milikulombów, a w chwili \(t=6\,\mathrm{s}\) - ładunek \(18\) milikulombów.
**Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili \(t=5\,\mathrm{s}\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[Q(5)=6\ \text{milikulombów}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z danych \(Q(4)=2\) oraz \(Q(6)=18\) otrzymujemy
\[2=Q_0\beta^{-4},\qquad 18=Q_0\beta^{-6}.\]
Dzieląc pierwsze równanie przez drugie, dostajemy
\[\frac2{18}=\beta^2,\qquad \beta^2=\frac19.\]
Ponieważ \(\beta>0\), mamy
\[\beta=\frac13.\]
Z równania \(2=Q_0(\frac13)^{-4}\) wynika
\[Q_0=\frac2{81}.\]
Zatem
\[Q(5)=\frac2{81}\left(\frac13\right)^{-5}=\frac2{81}\cdot3^5=6.\]
W chwili \(t=5\,\mathrm{s}\) ładunek wynosił \(6\) milikulombów.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(6\) milikulombów
**1 pkt** – obliczenie \(Q_0=\frac2{81}\); albo obliczenie \(\beta=\frac13\); albo zapisanie związku \([Q(5)]^2=Q(4)\cdot Q(6)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym.
**Wymagania szczegółowe:**
V.14) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
