Logarytmy
Zadanie 3, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej \(f\). Z wykresu odczytujemy w szczególności, że \(f(1)=0\) oraz \(f(4)=-2\).
Rozwiąż równanie
\[\bigl(f(x)\bigr)^2-16=0.\]
Odpowiedź
\[x=\frac1{16}\quad\text{lub}\quad x=16.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw odczytujemy z rysunku wzór funkcji. Wykres przechodzi przez \((1,0)\) i \((4,-2)\), a funkcja jest logarytmiczna, więc \(f(x)=\log_b x\) dla pewnej podstawy \(b>0\), \(b\neq1\). Z warunku \(f(4)=-2\):
\[b^{-2}=4,\qquad b^2=\frac14,\qquad b=\frac12,\]
bo podstawa musi być dodatnia. Zatem \(f(x)=\log_{\frac12}x\) i dziedziną równania jest \((0,+\infty)\). Zgadza się to z rysunkiem: wykres maleje, co odpowiada podstawie mniejszej od \(1\).
Równanie zapisujemy jako różnicę kwadratów:
\[\bigl(f(x)\bigr)^2-16=0,\qquad \bigl(f(x)-4\bigr)\bigl(f(x)+4\bigr)=0,\]
czyli \(f(x)=4\) lub \(f(x)=-4\). Stąd
\[\log_{\frac12}x=4\Rightarrow x=\left(\tfrac12\right)^4=\frac1{16},\qquad \log_{\frac12}x=-4\Rightarrow x=\left(\tfrac12\right)^{-4}=16.\]
Obie liczby są dodatnie, więc należą do dziedziny.
**Odpowiedź.** \(x=\frac1{16}\) lub \(x=16\).
Klucz i zasady oceniania
3.1 Zapisanie wzoru funkcji f : f x = log x . 2 1 pkt za wyznaczenie podstawy logarytmu .
1
2 Za bezpośrednie podanie wzoru funkcji przyznajemy
2 pkt.
3. Rozwiązanie równania ( f ( x )) 2 − 16 = 0 : Zdający może od razu zapisać alternatywę równań :
3.2 1 log x = −4 lub log x = 4 .
f ( x) = 4 lub f ( x) = −4 z niewiadomą f ( x) . 1 1
2 2
Podanie rozwiązań równania ( f ( x )) 2 − 16 = 0
3.3 1 1
z niewiadomą x: x = lub x =16 .
16
4 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
[Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
