Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości \(k\in\mathbb{R}\), dla których pierwiastki wielomianu
\[W(x)=(x^2-8x+12)(x-k)\]
są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.
Odpowiedź
\(k=\dfrac23\) lub \(k=2\sqrt3\) lub \(k=18\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wielomian jest już częściowo rozłożony na czynniki: dwa pierwiastki dostaniemy z trójmianu \(x^2-8x+12\), a trzecim jest \(k\). Nie wiemy jednak, na którym miejscu w ciągu geometrycznym stoi \(k\) — dlatego zadanie polega na rozpatrzeniu wszystkich trzech możliwych ustawień i sprawdzeniu w każdym dwóch rzeczy: warunku na ciąg geometryczny oraz tego, czy ciąg jest rosnący.
**Krok \(2\).** Rozwiązujemy \(x^2-8x+12=0\): \(\Delta=64-48=16\), \(\sqrt{\Delta}=4\), więc
\[x_1=\frac{8-4}{2}=2,\qquad x_2=\frac{8+4}{2}=6.\]
Pierwiastkami wielomianu \(W\) są zatem liczby \(2\), \(6\) oraz \(k\).
**Krok \(3\).** Przypominamy warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: dla \((b_1,b_2,b_3)\) musi zachodzić \(b_2^{\,2}=b_1\cdot b_3\), przy czym żaden wyraz nie może być zerem. Ciąg jest rosnący, gdy każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego. Rozpatrujemy trzy możliwe ustawienia: \((k,2,6)\), \((2,k,6)\) oraz \((2,6,k)\).
**Krok \(4\).** Ustawienie \((k,2,6)\): warunek \(2^2=k\cdot6\), czyli \(4=6k\), skąd \(k=\frac23\). Sprawdzamy monotoniczność: \(\frac23\lt2\lt6\), więc ciąg jest rosnący. Wartość \(k=\frac23\) pasuje.
**Krok \(5\).** Ustawienie \((2,k,6)\): warunek \(k^2=2\cdot6=12\), skąd \(k=2\sqrt3\) lub \(k=-2\sqrt3\). Dla \(k=2\sqrt3\approx3{,}46\) mamy \(2\lt2\sqrt3\lt6\), więc ciąg jest rosnący i ta wartość pasuje. Dla \(k=-2\sqrt3\approx-3{,}46\) ciąg \(2,\ -2\sqrt3,\ 6\) nie jest rosnący, bo drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego — tę wartość odrzucamy.
**Krok \(6\).** Ustawienie \((2,6,k)\): warunek \(6^2=2\cdot k\), czyli \(36=2k\), skąd \(k=18\). Sprawdzamy: \(2\lt6\lt18\), więc ciąg jest rosnący i wartość \(k=18\) pasuje.
**Krok \(7\).** Zbieramy wyniki: \(k=\frac23\) lub \(k=2\sqrt3\) lub \(k=18\). Kontrola: ilorazy tych ciągów wynoszą odpowiednio \(3\), \(\sqrt3\) i \(3\) — wszystkie są większe od \(1\) przy dodatnich wyrazach, co potwierdza, że ciągi rzeczywiście rosną.
**Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, trzeba rozważyć wszystkie trzy ustawienia — pierwiastki wielomianu nie mają z góry narzuconej kolejności, więc \(k\) może być pierwszym, drugim albo trzecim wyrazem. Po drugie, wartość \(k=-2\sqrt3\) spełnia warunek \(k^2=12\), ale daje ciąg o ujemnym ilorazie, czyli naprzemienny, który nie jest rosnący — pominięcie tego odrzucenia kosztuje punkt.
**Odpowiedź.** \(k=\dfrac23\) lub \(k=2\sqrt3\) lub \(k=18\).
Klucz i zasady oceniania
2.1 1
x = 2, x = 6 .
1 2
Rozważenie możliwych przypadków ciągów
geometrycznych, które mogą być rosnące:
2.2 3 1 pkt za rozwiązanie każdego z przypadków.
( k, 2, 6) , ( 2, k, 6) , ( 2, 6, k )
Wyznaczenie wszystkich wartości k, dla których ciąg jest Jeśli zdający nie odrzucił rozwiązania k = −2 3 , nie
2.3 2 1 przyznajemy punktu. rosnący: k = lub k = 2 3 lub k = 18 .
3
1 pkt za
[Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
