Logarytmy
Zadanie 6, maj 2009, poziom rozszerzony
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\log_{2\cos x}(9-x^2)\) i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Odpowiedź
\[D_f=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zapisujemy warunki, przy których wyrażenie \(\log_{2\cos x}(9-x^2)\) ma sens: argument musi być dodatni, a podstawa dodatnia i różna od jedynki:
\[9-x^2>0,\qquad 2\cos x>0,\qquad 2\cos x\neq1.\]
Pierwszy warunek: \(x^2<9\), czyli \(x\in(-3,3)\).
Drugi warunek: \(\cos x>0\). W przedziale \((-3,3)\) cosinus jest dodatni dokładnie na \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) — a ponieważ \(\frac{\pi}{2}\approx1{,}571<3\), cały ten przedział mieści się w \((-3,3)\), poza nim zaś w \((-3,3)\) cosinus jest ujemny.
Trzeci warunek: \(\cos x\neq\frac12\), czyli \(x\neq-\frac{\pi}{3}\) i \(x\neq\frac{\pi}{3}\) (to jedyne takie punkty w rozważanym przedziale).
Częścią wspólną wszystkich warunków jest
\[D_f=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right).\]
**Odpowiedź.** Dziedziną funkcji jest suma trzech przedziałów otwartych: \(\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – jeśli wykorzysta definicję logarytmu i zapisze wszystkie warunki określające dziedzinę funkcji \(f\). Poprawna odpowiedź: \(9-x^{2}>0\), \(2\cos x>0\), \(2\cos x\neq 1\).
**1 pkt** – jeśli rozwiąże nierówność kwadratową. Poprawna odpowiedź: \(x\in(-3,3)\).
**2 pkt** – jeśli poda zbiór rozwiązań nierówności \(\cos x>0\) i \(\cos x\neq\frac{1}{2}\) w przedziale \((-3,3)\). Poprawna odpowiedź: \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) i \(x\neq-\frac{\pi}{3}\) i \(x\neq\frac{\pi}{3}\).
**1 pkt** – jeśli poda zbiór rozwiązań tylko jednej z nierówności.
**1 pkt** – jeśli zapisze dziedzinę funkcji \(f\). Poprawna odpowiedź: \(D_{f}=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
