Zadanie 4 – matura z matematyki maj 2009, poziom rozszerzony

Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Liczby monet dokładanych w kolejne poranki: \(25\), \(27\), \(29\), \(\ldots\) — każdego dnia o \(2\) więcej, czyli jest to ciąg arytmetyczny o \(a_1=25\) i różnicy \(r=2\). Stan skarbca po \(n\)-tym dniu to liczba początkowa plus wszystko, co dołożono przez \(n\) dni, minus wszystko, co zabrano. Ponieważ suma ciągu arytmetycznego jest funkcją kwadratową zmiennej \(n\), całość sprowadzi się do badania funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Liczymy, ile monet dołożono łącznie przez \(n\) dni. Wyraz ogólny to \(a_n=25+(n-1)\cdot 2=2n+23\), więc \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{25+2n+23}{2}\cdot n=\frac{2n+48}{2}\cdot n=n^2+24n.\] **Krok \(3\).** Król zabiera \(50\) monet dziennie, czyli przez \(n\) dni łącznie \(50n\). Stan skarbca po południu \(n\)-tego dnia: \[M(n)=k+\left(n^2+24n\right)-50n=n^2-26n+k.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy warunek z treści. „W każdym dniu była co najmniej jedna moneta” oznacza \[M(n)\geqslant 1\qquad\text{dla każdego }n=1,2,3,\ldots\] Wystarczy więc, aby najmniejsza z liczb \(M(n)\) była co najmniej równa \(1\). **Krok \(5\).** Szukamy tej najmniejszej wartości. Doprowadzamy \(M\) do postaci kanonicznej — odcięta wierzchołka to \(n_w=\frac{-b}{2a}=\frac{26}{2}=13\), więc \[M(n)=(n-13)^2+k-169.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(13\) jest liczbą naturalną, wierzchołek naprawdę jest osiągany i najmniejszy stan skarbca to \[M(13)=k-169.\] **Krok \(7\).** Wstawiamy do warunku: \[k-169\geqslant 1,\qquad k\geqslant 170.\] Najmniejszą liczbą \(k\) spełniającą warunek jest \(k=170\). **Krok \(8\).** Dla \(k=170\) mamy \(M(n)=(n-13)^2+1\), więc najmniejsza liczba monet, równa \(1\), pojawia się dokładnie dla \(n=13\), czyli trzynastego dnia. (Sprawdzenie: \(M(12)=M(14)=2\), \(M(1)=145\).) **Uwaga.** Pułapką jest to, że \(n\) przebiega tylko liczby NATURALNE. Tutaj odcięta wierzchołka \(n_w=13\) sama jest liczbą naturalną, więc minimum funkcji kwadratowej jest jednocześnie minimum ciągu. Gdyby wierzchołek wypadł na przykład w \(n_w=13{,}5\), trzeba by porównać \(M(13)\) i \(M(14)\). Zwróć też uwagę, że warunek to \(M(n)\geqslant 1\) (co najmniej jedna moneta), a nie \(M(n)\gt 0\) w sensie rzeczywistym — dla liczb całkowitych daje to ten sam wynik. **Odpowiedź.** Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**1 pkt** – jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Poprawna odpowiedź: Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym \(25\) i różnicy równej \(2\). **1 pkt** – jeśli zapisze wzór na \(M(n)\) – liczbę monet w \(n\)-tym dniu po południu. Poprawna odpowiedź: \(M(n)=k+\frac{25+\left(25+(n-1)\cdot 2\right)}{2}\cdot n-50n=n^{2}-26n+k\) **2 pkt** – jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\), albo \(\Delta<0\) (bo \(n\in N\)), czyli \(26^{2}-4k<0\), stąd \(k>169\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\). **1 pkt** – jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\) lub \(\Delta<0\), bo \(n\in N\), stąd \(26^{2}-4k<0\). **1 pkt** – jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. Poprawna odpowiedź: \(n=13\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.