Zadanie 7 – matura z matematyki maj 2009, poziom rozszerzony

Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do \(-3<0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie osobne sprawy. Pierwsza: mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, a to znaczy, że kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów, czyli \(a_2^2=a_1\cdot a_3\) — stąd wyznaczymy \(x\). Druga: mając iloraz, skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i przekształcimy nierówność w sposób równoważny. **Krok \(2\).** Zapisujemy warunek dla wyrazów \(a_1=x-3\), \(a_2=x+3\), \(a_3=6x+2\): \[(x+3)^2=(x-3)(6x+2).\] **Krok \(3\).** Rozwijamy obie strony: \[x^2+6x+9=6x^2+2x-18x-6=6x^2-16x-6,\] a po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę \[0=5x^2-22x-15.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy: \(\Delta=(-22)^2-4\cdot5\cdot(-15)=484+300=784\), \(\sqrt{\Delta}=28\), więc \[x_1=\frac{22-28}{10}=-\frac35,\qquad x_2=\frac{22+28}{10}=5.\] **Krok \(5\).** Wybieramy właściwe \(x\), korzystając z warunku, że wszystkie wyrazy są dodatnie. Dla \(x=-\frac35\) mamy \(a_1=-\frac35-3=-\frac{18}{5}\lt0\), więc ta wartość odpada. Dla \(x=5\) otrzymujemy \(a_1=2\), \(a_2=8\), \(a_3=32\), czyli same liczby dodatnie. **Krok \(6\).** Liczymy iloraz: \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac82=4\) (sprawdzenie: \(\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{32}{8}=4\)). **Krok \(7\).** Korzystamy ze wzoru \(S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\), co wolno, bo \(q=4\neq1\). Przy dzieleniu sum czynniki \(a_1\) oraz \(q-1\) się skracają: \[\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{a_1\cdot\frac{4^{19}-1}{3}}{a_1\cdot\frac{4^{20}-1}{3}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}.\] **Krok \(8\).** Dowodzimy nierówności. Liczby \(4^{19}-1\) i \(4^{20}-1\) są dodatnie, więc nierówność \[\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\] jest równoważna nierówności otrzymanej po pomnożeniu na krzyż: \[4\left(4^{19}-1\right)\lt4^{20}-1.\] **Krok \(9\).** Lewa strona to \(4\cdot4^{19}-4=4^{20}-4\), więc dostajemy \(4^{20}-4\lt4^{20}-1\). Po odjęciu \(4^{20}\) od obu stron zostaje \(-4\lt-1\), a to jest prawda. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność również zachodzi, co kończy dowód. **Uwaga.** Warunek o dodatnich wyrazach nie jest ozdobnikiem — bez niego zadanie miałoby dwie odpowiedzi. Dla \(x=-\frac35\) ciąg \(-\frac{18}{5},\ \frac{12}{5},\ -\frac85\) także jest geometryczny (o ilorazie \(q=-\frac23\)), tylko jego wyrazy nie są dodatnie. To właśnie ten warunek pozwala odrzucić drugi pierwiastek. Zwróć też uwagę, że w kroku \(8\) mnożymy na krzyż wyłącznie dlatego, że mianowniki są dodatnie; przy ujemnym mianowniku trzeba by odwrócić znak nierówności. **Odpowiedź.** Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do nierówności prawdziwej.

**1 pkt** – jeśli wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze równanie opisujące warunki zadania. Poprawna odpowiedź: \((x+3)^{2}=(x-3)(6x+2)\). **1 pkt** – jeśli rozwiąże równanie kwadratowe. Poprawna odpowiedź: \(x=-\frac{3}{5}\) lub \(x=5\). **1 pkt** – jeśli wybierze odpowiednią wartość \(x\), tak aby wszystkie wyrazy ciągu były dodatnie. Poprawna odpowiedź: \(x=5\). **1 pkt** – jeśli obliczy iloraz ciągu. Poprawna odpowiedź: \(q=4\). **2 pkt** – jeśli oszacuje iloraz. Poprawna odpowiedź: np. Przekształcając równoważnie nierówność \(\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac{1}{4}\) dostaje kolejno: \(4\left(4^{19}-1\right)<4^{20}-1\), \(4^{20}-4<4^{20}-1\), \(-3<0\), co jest prawdą. To kończy dowód. **1 pkt** – jeśli wykorzysta wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i zapisze iloraz \(\frac{S_{19}}{S_{20}}\) w postaci umożliwiającej oszacowanie. Poprawna odpowiedź: \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.