Logarytmy
Zadanie 9, maj 2008, poziom rozszerzony
Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji
\[f(x)=\log_{\frac{\sqrt2}{2}}(8x-x^2).\]
Odpowiedź
Dziedzina: \(x\in(0,8)\). Najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-8\).
Rozwiązanie krok po kroku
Argument logarytmu musi być dodatni, więc dziedzinę wyznacza nierówność
\[8x-x^2>0,\qquad x(8-x)>0,\]
skąd \(x\in(0,8)\).
Podstawa logarytmu jest równa \(\frac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\) i jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna o tej podstawie jest **malejąca**. Wobec tego \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla **największej** wartości argumentu.
Wyrażenie \(8x-x^2\) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), więc największą wartość osiąga w wierzchołku:
\[x=\frac{0+8}{2}=4,\qquad 8\cdot4-4^2=16.\]
Punkt \(x=4\) należy do dziedziny, zatem najmniejsza wartość funkcji wynosi
\[f(4)=\log_{2^{-\frac12}}16=\frac{\log_2 16}{\log_2 2^{-\frac12}}=\frac{4}{-\frac12}=-8.\]
**Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((0,8)\), a najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-8\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Korzystam z faktu, że funkcja logarytmiczna dla podstawy równej \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) jest malejąca. Oznacza to, że funkcja \(f\) przyjmuje najmniejszą wartość dla największego argumentu.
Wyznaczam dziedzinę funkcji \(f\):
\[8x-x^{2}>0\]
\[x\cdot(8-x)>0\]
\[x\in(0,8)\]
Wyrażenie \(8x-x^{2}\) osiąga największą wartość dla \(x=4\) i jest ona równa \(16\).
Najmniejszą wartością funkcji \(f(x)=\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(8x-x^{2}\right)\) jest liczba \(\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(16)\).
Obliczam wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(16\), korzystając z definicji logarytmu:
\[\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(16)=y\]
\[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{y}=16\]
\[\left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^{y}=2^{4}\]
\[\frac{-y}{2}=4,\ \text{więc}\ y=-8\]
Odpowiedź: Liczba \((-8)\) jest najmniejszą wartością funkcji \(f\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
