Równania i nierówności
Zadanie 10, maj 2008, poziom rozszerzony
Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety, jest równe \(0{,}1\). Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.
Odpowiedź
W grupie jest \(7\) kobiet i \(14\) mężczyzn.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie \(10\). (\(4\) pkt)
**Krok \(2\).** Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo
**Krok \(3\).** dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety
**Krok \(4\).** jest równe \(0\),\(1\). Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.
**Krok \(5\).** Oznaczam: n – liczba kobiet, \(2n\) – liczba mężczyzn i n ≥ \(2\) .
**Krok \(6\).** Zdarzeniem elementarnym jest każdy dwuelementowy podzbiór zbioru
**Krok \(7\).** \(3n\) - elementowego.
**Krok \(8\).** Wyznaczam moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych Ω :
**Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Oznaczam: \(n\) – liczba kobiet, \(2n\) – liczba mężczyzn i \(n\geq 2\).
Zdarzeniem elementarnym jest każdy dwuelementowy podzbiór zbioru \(3n\)-elementowego.
Wyznaczam moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych \(\Omega\): \(\lvert\Omega\rvert=\binom{3n}{2}=\frac{3n(3n-1)}{2}\).
\(A\) – zdarzenie polegające na tym, że w delegacji znajdują się tylko kobiety.
Wyznaczam liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia \(A\): \(\lvert A\rvert=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\).
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{3n(3n-1)}{2}}=\frac{n-1}{3(3n-1)}\).
Zapisuję równanie wynikające z warunków zadania:
\[\frac{n-1}{3(3n-1)}=\frac{1}{10}\]
\[10n-10=9n-3\]
\[n=7\]
Odpowiedź: W grupie jest \(7\) kobiet i \(14\) mężczyzn.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
