Równania i nierówności
Zadanie 6, maj 2008, poziom rozszerzony
Udowodnij, że jeżeli ciąg \((a,b,c)\) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to \(a=b=c\).
Odpowiedź
Teza wynika z układu warunków \(2b=a+c\) oraz \(b^{2}=ac\), z którego otrzymujemy \((a-c)^{2}=0\), czyli \(a=c\), a następnie \(b=c\) (dowód w rozwiązaniu).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: to dowód. Nie wolno zacząć od tezy \(a=b=c\) — zaczynamy od ZAŁOŻEŃ i przekształcamy je aż do tezy. Założenia trzeba najpierw zapisać wzorami, korzystając z warunków na trzy kolejne wyrazy: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, a w geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów.
**Krok \(2\).** Zapisujemy oba warunki jako układ:
\[\begin{cases}b=\dfrac{a+c}{2}\\ b^2=a\cdot c\end{cases}\]
**Krok \(3\).** Z pierwszego równania podstawiamy \(b=\frac{a+c}{2}\) do drugiego:
\[\left(\frac{a+c}{2}\right)^2=ac.\]
**Krok \(4\).** Podnosimy do kwadratu licznik i mnożymy obie strony przez \(4\):
\[\frac{a^2+2ac+c^2}{4}=ac,\qquad a^2+2ac+c^2=4ac.\]
**Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[a^2-2ac+c^2=0.\]
Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
\[(a-c)^2=0.\]
**Krok \(6\).** Kwadrat liczby rzeczywistej jest zerem tylko wtedy, gdy sama liczba jest zerem, więc \(a-c=0\), czyli
\[a=c.\]
**Krok \(7\).** Wracamy do pierwszego równania układu i wstawiamy \(a=c\):
\[b=\frac{c+c}{2}=\frac{2c}{2}=c.\]
**Krok \(8\).** Zebrane razem: \(a=c\) oraz \(b=c\), a zatem \(a=b=c\), co należało udowodnić.
**Uwaga.** Sercem dowodu jest rozpoznanie w wyrażeniu \(a^2-2ac+c^2\) kwadratu różnicy — bez tego nie ruszymy dalej. Warto też pamiętać, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem, więc \(a,b,c\neq 0\); tutaj nie było to potrzebne, ale to standardowe założenie, o którym warto wspomnieć. Nie wolno natomiast dzielić przez \((a-c)\) ani zakładać czegokolwiek o tezie.
**Odpowiedź.** Teza wynika z układu warunków \(2b=a+c\) oraz \(b^{2}=ac\), z którego otrzymujemy \((a-c)^{2}=0\), czyli \(a=c\), a następnie \(b=c\) (dowód w rozwiązaniu).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Stosuję związki między sąsiednimi wyrazami ciągów arytmetycznego i geometrycznego do zbudowania układu równań:
\[\begin{cases}\frac{a+c}{2}=b\\ a\cdot c=b^{2}\end{cases}\]
Podstawiam do drugiego równania w miejsce \(b\) wyrażenie \(\frac{a+c}{2}\) i otrzymuję równanie: \(ac=\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2}\)
Wykonuję równoważne przekształcenia:
\[4ac=a^{2}+2ac+c^{2}\]
\[a^{2}-2ac+c^{2}=0\]
\[(a-c)^{2}=0\]
a stąd otrzymuję równość \(a=c\).
Korzystając z równości \(a=c\) i z pierwszego równania układu otrzymuję: \(\frac{2\cdot c}{2}=b\), stąd otrzymuję równość \(c=b\).
Ponieważ zachodzi \(a=c\) i \(b=c\), więc \(a=b=c\), co należało udowodnić.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
