Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 19, maj 2003, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania
\[f(x-1)=m\]
w zależności od wartości parametru \(m\). Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
Dla \(m\leqslant0\) równanie nie ma rozwiązań, a dla \(m\gt 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Uzasadnienie: funkcja \(g(x)=f(x-1)\) jest różnowartościowa, a jej zbiorem wartości jest przedział \((0,+\infty)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pytanie o liczbę rozwiązań równania \(f(x-1)=m\) w zależności od \(m\) to pytanie o liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji \(g(x)=f(x-1)\) z poziomą prostą \(y=m\). Wystarczy więc znać dwie rzeczy o funkcji \(g\): jej zbiór wartości i to, czy jest różnowartościowa.
**Krok \(2\).** Funkcja wykładnicza ma wzór \(f(x)=a^x\), gdzie \(a\gt 0\) i \(a\neq1\). Dwie jej własności są tu kluczowe: przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie (jej zbiorem wartości jest \((0,+\infty)\)) i jest różnowartościowa, bo jest ściśle monotoniczna (rosnąca dla \(a\gt 1\), malejąca dla \(0\lt a\lt 1\)).
**Krok \(3\).** Wykres funkcji \(g(x)=f(x-1)\) powstaje z wykresu \(f\) przez przesunięcie o wektor \([1,0]\), czyli o jedną jednostkę w prawo. Przesunięcie poziome nie zmienia ani zbioru wartości, ani monotoniczności, więc \(g\) też ma zbiór wartości \((0,+\infty)\) i też jest różnowartościowa.
**Krok \(4\).** Niech \(m\leqslant0\). Wtedy prosta \(y=m\) leży na osi \(OX\) lub pod nią, a cały wykres funkcji \(g\) leży nad osią \(OX\). Nie ma żadnego punktu wspólnego, więc równanie nie ma rozwiązań.
**Krok \(5\).** Niech \(m\gt 0\). Liczba \(m\) należy do zbioru wartości funkcji \(g\), więc rozwiązanie istnieje. Ponieważ \(g\) jest różnowartościowa, żadna wartość nie jest przyjmowana dwa razy, więc to rozwiązanie jest dokładnie jedno.
**Krok \(6\).** Można to samo pokazać rachunkiem: równanie \(a^{x-1}=m\) dla \(m\gt 0\) jest równoważne \(x-1=\log_a m\), czyli \(x=1+\log_a m\) i jest to jedna liczba.
**Uwaga.** Granicznym przypadkiem jest \(m=0\). Kusi, żeby dopisać go do przypadku z jednym rozwiązaniem, bo oś \(OX\) jest asymptotą wykresu. Asymptota to jednak prosta, do której wykres się zbliża, ale jej nie dotyka, więc dla \(m=0\) rozwiązań nie ma.
**Odpowiedź.** Dla \(m\leqslant0\) równanie \(f(x-1)=m\) nie ma rozwiązań, a dla \(m\gt 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Klucz i zasady oceniania
**1. (2 pkt)** – wykonanie polecenia zadania. Odp. Równanie nie ma rozwiązań dla \(m\in(-\infty,\,0\rangle\); równanie ma \(1\) rozwiązanie dla \(m\in(0,\,+\infty)\). Po \(1\) punkcie za każdy z rozważonych przypadków.
**2. (2 pkt)** – uzasadnienie odpowiedzi. Odp. Funkcja \(g\) określona wzorem \(g(x)=f(x-1)\) jest funkcją różnowartościową. Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział \((0,\,+\infty)\). Po \(1\) punkcie za każdy element uzasadnienia.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
