Ciągi
Zadanie 20, maj 2003, poziom rozszerzony
Udowodnij, stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego dodatniego \(n\) zachodzi równość
\[2+5+8+\ldots+(3n-1)=\frac32n^2+\frac12n.\]
Odpowiedź
Równość \(2+5+8+\ldots+(3n-1)=\frac32n^{2}+\frac12n\) zachodzi dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\); dowód przez indukcję matematyczną.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(L(n)\) lewą, a przez \(P(n)\) prawą stronę dowodzonej równości. Dowód przeprowadzamy metodą indukcji matematycznej.
**Baza indukcji.** Dla \(n=1\) lewa strona to pojedynczy składnik \(3\cdot1-1=2\), a prawa strona jest równa \(\frac32\cdot1^{2}+\frac12\cdot1=2\). Równość zachodzi.
**Krok indukcyjny.** Zakładamy, że dla pewnej liczby całkowitej dodatniej \(n\) zachodzi
\[2+5+8+\ldots+(3n-1)=\frac32n^{2}+\frac12n.\]
Do obu stron dodajemy kolejny składnik sumy, czyli \(3(n+1)-1=3n+2\):
\[L(n+1)=\frac32n^{2}+\frac12n+3n+2=\frac32n^{2}+\frac72n+2.\]
Z drugiej strony
\[P(n+1)=\frac32(n+1)^{2}+\frac12(n+1)=\frac32n^{2}+3n+\frac32+\frac12n+\frac12=\frac32n^{2}+\frac72n+2.\]
Obie wartości są równe, więc równość zachodzi także dla \(n+1\).
Na mocy zasady indukcji matematycznej dowodzona równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – sprawdzenie, czy dla \(n=1\) zachodzi dana równość. Odp. Lewa strona równości jest równa \(2\). Prawa strona jest równa \(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\).
**2. (1 pkt)** – zapisanie założenia indukcyjnego. Odp. \(2+5+8+\ldots+(3k-1)=\frac{3}{2}k^{2}+\frac{1}{2}k\), gdzie \(k\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub równą \(1\).
**3. (1 pkt)** – zapisanie tezy indukcyjnej. Odp. \(2+5+8+\ldots+(3k-1)+(3k+2)=\frac{3}{2}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)\)
**4. (2 pkt)** – przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej. Odp. \(2+5+8+\ldots+(3k-1)+(3k+2)=\frac{3}{2}k^{2}+\frac{1}{2}k+(3k+2)=\frac{3}{2}k^{2}+3k+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)\)
**5. (1 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi. Odp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej, dodatniej \(n\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
