Funkcje
Zadanie 15.1, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Masa leku zmienia się według wzoru \(m(t)=m_{0}\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\). Chory przyjął \(200\,\mathrm{mg}\). Oblicz, ile leku pozostanie po \(12\) godzinach.
Odpowiedź
\(m(12)=200\cdot(0{,}6)^{3}=43{,}2\ \mathrm{mg}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie daje gotowy model wykładniczy \(m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\), gdzie \(m_0\) to masa leku przyjęta na początku, \(t\) to czas w godzinach, a \(m(t)\) to masa pozostała po czasie \(t\). Wystarczy odczytać dane z treści i podstawić je do wzoru.
**Krok \(2\).** Chory przyjął \(200\ \mathrm{mg}\), więc \(m_0=200\), a wzór przyjmuje postać
\[m(t)=200\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}.\]
**Krok \(3\).** Pytanie dotyczy chwili \(t=12\) (godzin), więc najpierw obliczamy wykładnik:
\[0{,}25\cdot12=3.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy obliczony wykładnik:
\[m(12)=200\cdot(0{,}6)^3.\]
**Krok \(5\).** Liczymy trzecią potęgę:
\[(0{,}6)^3=0{,}6\cdot0{,}6\cdot0{,}6=0{,}36\cdot0{,}6=0{,}216.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy przez masę początkową:
\[m(12)=200\cdot0{,}216=43{,}2.\]
**Uwaga.** Wykładnikiem jest \(0{,}25t\), a nie samo \(t\). Kto podstawi \(12\) bezpośrednio jako wykładnik, policzy \(200\cdot(0{,}6)^{12}\), czyli wynik bliski zeru. Warto też pilnować jednostki: wynik jest w miligramach, bo w miligramach podano masę początkową.
**Odpowiedź.** Po \(12\) godzinach w organizmie pozostanie \(m(12)=200\cdot(0{,}6)^3=43{,}2\ \mathrm{mg}\) leku.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawna metoda i 43,2 mg.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 15.1. (0–1)
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
