Ciąg geometryczny
Zadanie 15.2, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Dla \(m(t)=m_{0}\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\) liczby \(m(2{,}5)\), \(m(4{,}5)\), \(m(6{,}5)\) tworzą ciąg geometryczny. Oblicz jego iloraz.
Odpowiedź
\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25\cdot4{,}5-0{,}25\cdot2{,}5}=(0{,}6)^{0{,}5}=\sqrt{\frac35}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dwóch kolejnych jego wyrazów. Korzystamy z własności potęg o tej samej podstawie:
\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=\frac{m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot4{,}5}}{m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot2{,}5}}=(0{,}6)^{0{,}25\cdot(4{,}5-2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}5}.\]
Zatem
\[q=\sqrt{0{,}6}=\sqrt{\frac35}=\frac{\sqrt{15}}5.\]
**Odpowiedź.** \(q=\sqrt{\frac35}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawna metoda i q=(0,6)⁰·⁵=√(3/5).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 15.2. (0–1)
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
