Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 7, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy
Z krawędzi dachu podrzucono kamień, który po \(2\) sekundach spadł na ziemię. Wysokość (wyrażoną w metrach), na jakiej znajdował się kamień nad ziemią po upływie \(t\) sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja
\[h(t)=-5t^2+5t+10,\qquad t\in\langle0,2\rangle.\]
a) Podaj, z jakiej wysokości (od ziemi) kamień został podrzucony.
b) Oblicz, po jakim czasie od momentu podrzucenia kamień osiągnął największą wysokość.
c) Oblicz największą wysokość (od ziemi), na jaką wzniósł się ten kamień.
Odpowiedź
a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Wysokość kamienia opisuje funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(t^2\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Wynika stąd od razu plan: „z jakiej wysokości podrzucono” to wartość dla \(t=0\), a „największa wysokość” i „po jakim czasie” to współrzędne WIERZCHOŁKA paraboli.
**Krok \(2\).** Podpunkt a). Moment podrzucenia to chwila \(t=0\), więc liczymy
\[h(0)=-5\cdot 0^2+5\cdot 0+10=10.\]
Kamień podrzucono z wysokości \(10\) m nad ziemią (to poziom krawędzi dachu).
**Krok \(3\).** Podpunkt b). Odczytujemy współczynniki: \(a=-5\), \(b=5\), \(c=10\). Ponieważ \(a=-5\lt 0\), ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku.
**Krok \(4\).** Liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka:
\[t_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot(-5)}=\frac{-5}{-10}=\frac12.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy ta chwila należy do rozważanego przedziału: \(\frac12\in\langle0,2\rangle\) — tak. Kamień osiągnął największą wysokość po \(\frac12\) sekundy, czyli po pół sekundy od podrzucenia.
**Krok \(6\).** Podpunkt c). Liczymy wysokość w tej chwili:
\[h\left(\frac12\right)=-5\cdot\left(\frac12\right)^2+5\cdot\frac12+10=-5\cdot\frac14+\frac52+10=-1{,}25+2{,}5+10=11{,}25.\]
**Krok \(7\).** Kontrola sensu wyniku: kamień wzniósł się o \(11{,}25-10=1{,}25\) m ponad krawędź dachu, a po \(2\) sekundach mamy \(h(2)=-20+10+10=0\), czyli spada dokładnie na ziemię — zgadza się z treścią zadania.
**Uwaga.** Podpunkt c) pyta o wysokość NAD ZIEMIĄ, a nie o to, o ile kamień wzniósł się ponad dach. Odpowiedzią jest więc \(11{,}25\) m, a nie \(1{,}25\) m. Nie pomyl też podpunktów b) i c): \(t_w=\frac12\) to CZAS (w sekundach), a \(h(t_w)=11{,}25\) to WYSOKOŚĆ (w metrach).
**Odpowiedź.** a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**7.1. (1 pkt)** – podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień: \(h(0)=10\) m.
**7.2. (1 pkt)** – obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi: \(t_{w}=\frac{1}{2}\), np. „po upływie pół sekundy”.
**7.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień: \(h_{\max}\left(\frac{1}{2}\right)=11{,}25\) m. Zdający może pominąć jednostki.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
