Optymalizacja
Zadanie 32, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki:
- punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\),
- punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\),
- \(\lvert CF\rvert=\frac{1}{2}\lvert EB\rvert=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek).
Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).
Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[P(x)=x^{2}-2x+8\quad\text{dla }x\in(0,2);\qquad \text{pole jest najmniejsze dla }x=1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy położenie punktów: \(E\) leży na boku \(AB\), przy czym odcinek \(EB\) ma długość \(2x\), a \(F\) leży na boku \(BC\), przy czym \(CF=x\). Kwadrat \(ABCD\) ma bok \(4\).
**Wyrażenie pozostałych odcinków.** Z warunku \(|CF|=\frac12|EB|=x\) mamy \(|EB|=2x\), więc
\[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=|BC|-|CF|=4-x.\]
Warunek \(x\in(0,2)\) zapewnia, że oba te odcinki są dodatnie, a punkty \(E\) i \(F\) leżą wewnątrz odpowiednich boków.
**Pole trójkąta \(DEF\).** Trójkąt \(DEF\) powstaje z kwadratu przez odcięcie trzech trójkątów prostokątnych o wierzchołkach w narożach \(A\), \(B\) i \(C\):
\[P_{DAE}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|AE|=\tfrac12\cdot4\cdot(4-2x)=8-4x,\]
\[P_{EBF}=\tfrac12\cdot|EB|\cdot|BF|=\tfrac12\cdot2x\cdot(4-x)=x(4-x),\]
\[P_{FCD}=\tfrac12\cdot|CF|\cdot|CD|=\tfrac12\cdot x\cdot4=2x.\]
Zatem
\[P(x)=16-\bigl[(8-4x)+x(4-x)+2x\bigr]=16-\left(-x^{2}+2x+8\right)=x^{2}-2x+8.\]
**Najmniejsza wartość.** Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej:
\[P(x)=(x-1)^{2}+7.\]
Dla każdego \(x\) zachodzi \((x-1)^{2}\geq0\), więc \(P(x)\geq7\), a równość zachodzi dokładnie dla \(x=1\). Liczba \(1\) należy do dziedziny \((0,2)\), więc jest to minimum przyjmowane na całym rozważanym przedziale, a nie tylko lokalnie.
**Odpowiedź.** \(P(x)=x^{2}-2x+8\) dla \(x\in(0,2)\); pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze dla \(|CF|=x=1\) i wynosi wtedy \(7\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawny wzór funkcji \(P\) oraz poprawne wyznaczenie \(x=1\)
**2 pkt** – wyznaczenie poprawnego wzoru \(P(x)=x^{2}-2x+8\)
**1 pkt** – zapisanie pola trójkąta \(DEF\) przez pola trzech trójkątów pomocniczych albo zapisanie co najmniej dwóch z tych pól w zależności od \(x\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
