Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 33.2, maj 2026, poziom podstawowy
Wysokość piłeczki w chwili \(t\) jest określona wzorem \(h(t)=-4{,}9t^{2}+14{,}7t\).
Piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili
**A.** \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\)
**B.** \(t=2\,\mathrm{s}\)
**C.** \(t=2{,}5\,\mathrm{s}\)
**D.** \(t=3\,\mathrm{s}\)
Podpowiedź
Największa wysokość odpowiada wierzchołkowi paraboli skierowanej ramionami w dół.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Korzystamy ze wzoru \(t_w=-\frac{b}{2a}\).
Rozwiązanie
Dla \(h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\) mamy \(a=-4{,}9\) i \(b=14{,}7\). Chwila osiągnięcia wierzchołka to \[t_w=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=1{,}5\,\mathrm{s}.\] Poprawna jest odpowiedź A.
Sprawdzenie
Czas \(1{,}5\,\mathrm{s}\) leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi \(0\) i \(3\), zgodnie z symetrią paraboli.
Odpowiedź
**A.** Wierzchołek paraboli jest osiągany dla \(t=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=1{,}5\,\mathrm{s}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\) jest funkcją kwadratową o współczynniku \(a=-4{,}9<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku.
Pierwszą współrzędną wierzchołka obliczamy ze wzoru \(t_w=-\frac{b}{2a}\), gdzie \(b=14{,}7\):
\[t_w=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=\frac{14{,}7}{9{,}8}=1{,}5.\]
Ten sam wynik daje symetria: miejsca zerowe funkcji \(h\) to \(0\) i \(3\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku między nimi, czyli dla \(t=1{,}5\).
**Odpowiedź.** A: \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
