Potęgi i pierwiastki
Zadanie 19, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\), gdzie \(|AB|=15\) km, \(|AC|=20\) km oraz \(AB\perp AC\). O godzinie \(9{:}00\) z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszyli harcerze z zastępu „Tropiciele” i maszerowali z prędkością \(4\,\mathrm{km/h}\). O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszyli harcerze z zastępu „Korsarze” i maszerowali z prędkością \(2\,\mathrm{km/h}\).
Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Odległość między zastępami jest najmniejsza o godzinie \(10{:}30\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(t\) oznacza liczbę godzin od \(9{:}00\). Dla \(t\in[0,5]\) odległości zastępów od punktu \(A\) wynoszą \(4t\) i \(15-2t\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[d(t)=\sqrt{(4t)^2+(15-2t)^2}.\]
Wystarczy zminimalizować
\[d^2(t)=20t^2-60t+225.\]
Wierzchołek tej paraboli przypada dla \(t=\frac{60}{40}=1{,}5\). Jest to półtorej godziny po rozpoczęciu marszu, czyli godzina \(10{:}30\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i godzina \(10{:}30\).
**3 pkt** – uzasadnienie minimalizacji wyrażenia \(20t^2-60t+225\) w poprawnej dziedzinie.
**2 pkt** – wyznaczenie \(d(t)\).
**1 pkt** – wyznaczenie położeń obu zastępów w zależności od \(t\).
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].
**Wymagania szczegółowe:**
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
4R) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
6R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
