Funkcje
Zadanie 18.2, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
**Informacja do zadań \(18\).\(1\)–\(18\).\(2\).**
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\), a długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż \(4\).
**Zadanie \(18\).\(2\).**
Objętość \(V\) każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji
\[V(c)=c^3-20c^2+128c,\]
gdzie \(c\in\left[4,\frac{28}{3}\right]\) jest długością jednej z krawędzi bryły.
Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest najmniejsza. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Najmniejsza objętość wynosi \(256\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy pochodną:
\[V'(c)=3c^2-40c+128=3(c-8)\left(c-\frac{16}{3}\right).\]
W przedziale \(\left[4,\frac{28}{3}\right]\) pochodna jest dodatnia dla \(c\in\left[4,\frac{16}{3}\right)\cup\left(8,\frac{28}{3}\right]\) i ujemna dla \(c\in\left(\frac{16}{3},8\right)\). Wystarczy porównać wartości w punktach mogących dać minimum:
\[V(4)=256,\qquad V(8)=256,\qquad V\left(\frac{28}{3}\right)=\frac{7168}{27}>256.\]
Najmniejsza możliwa objętość jest więc równa \(256\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej i określenie monotoniczności \(V\)
**2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(V'\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.6 R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
