Liczby rzeczywiste
Zadanie 20, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Firma X wytwarza produkt D. Związek między ilością \(Q\) produktu, jaką firma może zbyć, a ceną \(P\) jest opisany wzorem
\[P(Q)=90-0{,}1Q\qquad\text{dla }Q\in[0,900],\]
gdzie \(P\) oznacza cenę jednostkową w złotych, a \(Q\) - ilość produktu w tysiącach sztuk. Koszt produkcji jest opisany wzorem
\[K(Q)=0{,}002Q^3+Q^2+29{,}9985Q+50,\]
gdzie \(K\) jest wyrażone w tysiącach złotych.
Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj w zaokrągleniu do \(100\) sztuk. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Największy dochód firma osiąga przy produkcji \(25\,500\) sztuk.
Rozwiązanie krok po kroku
Przychód wynosi
\[R(Q)=Q\cdot P(Q)=90Q-0{,}1Q^2.\]
Dochód \(Z=R-K\) jest więc opisany funkcją
\[Z(Q)=-0{,}002Q^3-1{,}1Q^2+60{,}0015Q-50.\]
Jej pochodna to
\[Z'(Q)=-0{,}006Q^2-2{,}2Q+60{,}0015.\]
W przedziale \([0,900]\) jedynym miejscem zerowym pochodnej jest \(Q=25{,}5\). Pochodna jest dodatnia przed tym punktem i ujemna po nim, więc \(Z\) osiąga tam maksimum. Ponieważ \(Q\) wyrażono w tysiącach sztuk, optymalna produkcja wynosi \(25\,500\) sztuk.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia produkcji zapewniającej maksymalny dochód i poprawnie zaokrąglony wynik
**3 pkt** – znalezienie ekstremum lokalnego funkcji dochodu
**2 pkt** – zapisanie dochodu w zależności od \(Q\)
**1 pkt** – zapisanie przychodu w zależności od \(Q\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie modeli matematycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.4 R) Zdający oblicza pochodne.
XIII.5 R) Stosuje pochodną do badania monotoniczności.
XIII.6 R) Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
