Liczby rzeczywiste
Zadanie 37, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{1}{x}\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\).
Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Odpowiedź
\[m=\frac12.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Kolejnymi wyrazami ciągu są
\[f(m)=\frac1m,\qquad f(1)=1,\qquad f(2)=\frac12.\]
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych, zatem
\[1^2=\frac1m\cdot\frac12.\]
Stąd \(2m=1\), więc
\[m=\frac12.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(m=\frac12\)
**1 pkt** – zapisanie wartości \(f(m)=\frac1m\), \(f(1)=1\), \(f(2)=\frac12\) oraz wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
V.2) Zdający oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.
VI.4) Sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.
VI.7) Wykorzystuje własności ciągów geometrycznych do rozwiązywania zadań.
