Funkcja kwadratowa
Zadanie 38, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025, poziom podstawowy
Dwie jednakowe prostokątne działki magazynowe mają wspólny bok. Całość jest ogrodzona, a wspólny bok także stanowi ogrodzenie. W płocie znajdują się dwie bramy o szerokości \(10\,\mathrm{m}\) każda, których szerokości nie wlicza się do długości płotu. Łączna długość płotu wynosi \(580\,\mathrm{m}\). Wymiary każdej działki oznaczono przez \(x\) i \(y\), jak na rysunku.
Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) każdej działki, dla których całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe.
Odpowiedź
\[x=100\,\mathrm{m},\qquad y=75\,\mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość płotu spełnia równanie
\[3x+4y-2\cdot10=580,\]
czyli \(3x+4y=600\) oraz \(y=150-\frac34x\). Całkowite pole dwóch działek jest równe
\[P=2xy=2x\left(150-\frac34x\right)=-\frac32x^2+300x.\]
Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi
\[x=-\frac{300}{2\cdot(-\frac32)}=100.\]
Wtedy
\[y=150-\frac34\cdot100=75.\]
Największe pole otrzymujemy dla \(x=100\,\mathrm{m}\) i \(y=75\,\mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(x=100\,\mathrm{m}\), \(y=75\,\mathrm{m}\)
**3 pkt** – poprawny wzór na pole zależne od jednej zmiennej i obliczenie \(x=100\,\mathrm{m}\)
**2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) z właściwą dziedziną
**1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo \(3x+4y-20=580\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie modeli matematycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - tworzenie strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach opisywanych funkcją kwadratową.
