Funkcja kwadratowa
Zadanie 28, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy
Powierzchnia magazynowa będzie na dwóch takich samych prostokątnych działkach mających jeden wspólny bok. Całość będzie ogrodzona płotem, a działki rozdzieli wspólny płot. W ogrodzeniu będą dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\,\mathrm m\). Łączna długość płotu ogradzającego i rozdzielającego działki wynosi \(580\,\mathrm m\); szerokości bram nie wlicza się w długość płotu. Oznaczenia wymiarów \(x\) i \(y\) przedstawiono na rysunku.
**Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek tak, aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.**
Odpowiedź
Każda działka powinna mieć wymiary \(x=100\,\mathrm m\) i \(y=75\,\mathrm m\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunków ogrodzenia wynika
\[3x+4y-2\cdot10=580,\qquad y=150-\frac34x.\]
Pole obu działek jest równe
\[P(x)=2xy=2x\left(150-\frac34x\right),\qquad x\in\left(0,\frac{560}{3}\right).\]
Miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej to \(0\) i \(200\), więc pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \(x=100\). Wówczas
\[y=150-\frac34\cdot100=75.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(x=100\,\mathrm m\), \(y=75\,\mathrm m\)
**3 pkt** – poprawny wzór na pole jako funkcję jednej zmiennej i obliczenie \(x=100\,\mathrm m\)
**2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) dla \(x\in(0,\frac{560}{3})\)
**1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo związku \(3x+4y-20=580\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.2 i IV.4 tworzenie modeli matematycznych oraz strategii rozwiązywania zadań.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych opisywanych funkcją kwadratową.
