Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 30, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy
W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\angle ABC|=60^\circ\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(BC\).
**Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka \(A\).**
Odpowiedź
\[|AD|=4\sqrt7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(AD\) jest środkową, \(|BD|=4\). Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABD\):
\[|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2|AB||BD|\cos60^\circ\]
\[|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac12=112.\]
Zatem \(|AD|=\sqrt{112}=4\sqrt7\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne równanie z twierdzenia cosinusów i wynik \(|AD|=4\sqrt7\)
**1 pkt** – zapisanie \(|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cos60^\circ\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
CKE dopuszcza również rozwiązanie z twierdzenia Pitagorasa po wyodrębnieniu trójkąta o kątach \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.5-VII.6 stosowanie twierdzenia cosinusów oraz obliczanie boków trójkąta przy odpowiednich danych.
