Funkcja kwadratowa
Zadanie 14.2, sierpień 2025, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12x^2+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz **P**, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo **F** - jeśli jest fałszywe.
| Stwierdzenie | P | F |
|---|:---:|:---:|
| Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią. | P | F |
| Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią. | P | F |
Odpowiedź
**F, F.** Po rozwinięciu \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)=\frac12x^2-x-12\). Zatem \(b=-1\) i \(c=-12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wyznaczamy wzór funkcji. Wykres jest symetryczny względem prostej \(x=1\), więc drugie miejsce zerowe leży symetrycznie do liczby \(6\) względem \(1\), czyli
\[x_2=1-(6-1)=-4.\]
Przy współczynniku \(a=\frac12\) otrzymujemy postać iloczynową, a po wymnożeniu postać ogólną:
\[f(x)=\frac12(x+4)(x-6)=\frac12\left(x^2-2x-24\right)=\frac12x^2-x-12.\]
Stąd \(b=-1\) oraz \(c=-12\).
\(1\). Współczynnik \(b=-1\) jest liczbą ujemną, więc stwierdzenie „\(b\) jest liczbą dodatnią” jest **fałszywe**.
\(2\). Współczynnik \(c=-12\) także jest ujemny (jest to wartość \(f(0)\), a wykres przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu), więc drugie stwierdzenie również jest **fałszywe**.
**Odpowiedź.** \(1\). F, \(2\). F
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
V.8) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje).
