Liczby rzeczywiste
Zadanie 15, sierpień 2025, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=\frac{32\cdot(-1)^n}{2^{n-1}}\]
dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
Szósty wyraz tego ciągu jest równy
**A.** \(-2\)
**B.** \(-1\)
**C.** \(1\)
**D.** \(2\)
Odpowiedź
**C.** \(a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^5}=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ciąg jest dany wzorem ogólnym, a nie rekurencyjnym - to znaczy, że dowolny wyraz obliczamy od razu, wstawiając jego numer w miejsce \(n\). Szósty wyraz to \(a_6\), więc podstawiamy \(n=6\).
**Krok \(2\).** Zajmijmy się najpierw czynnikiem \((-1)^n\). Wykładnik \(6\) jest parzysty, więc
\[(-1)^6=1.\]
**Krok \(3\).** Teraz mianownik. Uwaga na wykładnik \(n-1\):
\[2^{n-1}=2^{6-1}=2^5=32.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy obie wartości do wzoru:
\[a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^{6-1}}=\frac{32\cdot 1}{32}=1.\]
**Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze \((-1)^6=1\), a nie \(-1\) - potęga o parzystym wykładniku daje wynik dodatni (dla nieparzystego \(n\) wyraz byłby ujemny). Po drugie w mianowniku jest \(2^{5}\), a nie \(2^{6}\); pomyłka tutaj dałaby \(\frac{32}{64}=\frac12\).
**Odpowiedź.** C: \(1\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
